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Les Mathématiques
À quoi peuvent bien servir les mathématiques ? D’où vient cette fascination, qui remonte à l’Antiquité, pour la magie des nombres ? Comment est-on passé des encoches gravées sur des os pour compter du gibier, à la découverte des nombres complexes ou de la théorie du chaos ? Savez-vous que, jusqu’au XVème siècle, on employait les nombres romains pour compter ? Imaginez un peu résoudre : CDLVII x MMMCCCXXXXIV = ? Mal aimées par beaucoup, omniprésentes dans la majorité des filières scolaires, les “maths” sont en fait à la base... de tout. Sans elles, pas d’ordinateurs, pas de voitures, pas de téléphones, pas d’économie... Mais comment trouver plaisir à jouer avec ces notions abstraites et parfois ardues ? Peut-être en se disant que les mathématiques sont un jeu.
Les premiers mathématiciens On a trouvé de nombreuses traces tendant à prouver qu’il y a 40 000 ans, les hommes savaient compter, comme des entailles sur des os, des alignements de cailloux. Mais la plus ancienne trace de réelles connaissances mathématiques remonte à 5 000 ans avant notre ère, sous la forme de tablettes d’argile de l’époque babylonienne découvertes en Mésopotamie. Sans entrer dans les détails d’un système un peu complexe (les Babyloniens calculaient en base 60 ; et c’est d’ailleurs de là d’où vient la division des heures en 60 minutes, elles-mêmes divisées en 60 secondes, ou encore celle, bizarre, du cercle divisé en 360 degrés...), retenons que les Babyloniens utilisaient les chiffres 1, 10, 60, 3600... et qu’en les combinant, ils pouvaient effectuer toutes les opérations. Ainsi, 3672 s’écrivait : 602+60+10+1+1 ; 1/2 s’écrivait : 1+(30/60). Ce système très ingénieux a permis aux Babyloniens de devenir la principale puissance économique de l’époque. Les Égyptiens, vers 2 500 avant notre ère, seront les premiers à utiliser un système décimal (1, 10, 100, 1 000, 10 000…). Bien que complexes à manipuler, les mathématiques égyptiennes feront de grands progrès en matière de géométrie, dans l’usage des fractions et, surtout, dans les méthodes de calcul.
La multiplication des Égyptiens Parmi les étonnants systèmes de calcul imaginés par les Égyptiens, voici celui de la multiplication. Imaginons l’opération : 12 x 74. Le scribe commençait par faire deux colonnes : la première commence par 1 ; la seconde par le plus petit nombre de la multiplication (ici 12). Dans chaque colonne, on double à chaque ligne le nombre précédent. On arrête lorsque l’on a obtenu, dans la colonne de gauche, un nombre supérieur au deuxième chiffre de la multiplication (ici 74). On coche alors dans la colonne de gauche les trois chiffres qui additionnés donnent 74 (64+8+2). Il ne reste plus qu’à additionner les nombres correspondants dans la colonne de droite : 768+96+24= 888, ce qui est bien le résultat de 74 x 12 !
Les mathématiques grecques
Les mathématiques, telles que nous les connaissons encore aujourd’hui, apparaissent en Grèce avec Thalès (vers -625, -547 avant notre ère). Il sera le premier à poser des théorèmes * comme : “Tout diamètre partage le cercle en deux parts égales”. Il se fera également connaître en calculant la hauteur exacte de la Grande pyramide ! Sa méthode ? Il plante un bâton de longueur L connue. Lorsque l’ombre portée au sol du bâton est égale à L, il suffit de mesurer au même moment la longueur de l’ombre de la pyramide ! Simple, mais il fallait y penser... Né à la même époque, Euclide rédige « Les Éléments », ouvrage toujours utilisé, qui pose les notions d’ensembles*, d’éléments*... et qui donne notamment les bases de la géométrie* et de la résolution d’équations. C’est Pythagore (-570, -480 av. J.C.) qui prend la relève avec son école et qui élaborera le célèbre théorème : “Le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l’angle droit”. Mais à côté de traits de génie comme celui-ci, les Pythagoriciens mêleront aux mathématiques toute une symbolique liée à leur religion, attribuant aux nombres des propriétés magiques et surnaturelles. Vers –460 av. J.C., les Éléates se rebellent contre les théories pythagoriciennes, et font la distinction entre ce qui est mesurable et... le reste. -400 av. J.C. : les sophistes (issus de l’École de philosophie qui repose sur des raisonnements en apparence justes, mais conçus dans l’intention de tromper. Par exemple : les Grecs sont des menteurs, Homère est grec, donc Homère est un menteur), les sophistes donc, introduiront la notion d’équation (voir paragraphe « de l’utilité des mathématiques »). Platon (-427, -347) posera les bases de la géométrie moderne et notamment l’étude des volumes. L’un de ses élèves, Aristote, donnera les bases des mathématiques modernes, en établissant la distinction entre axiomes*, théorèmes, propositions*, démonstrations... Les insolubles Les sophistes grecs (vers - 400 av. J.C.) ont imaginé des problèmes qui n’ont toujours pas de solution... • La duplication du cube : le problème consiste à trouver le côté x d’un cube dont le volume serait le double d’un cube de côté a. Ce qui revient à calculer l’équation : x3=2a3... Autrement dit, calculer la racine cubique de 2 (3√2 = 1,1892071150027210...) • la quadrature du cercle : comment construire, à la règle et au compas, un carré ayant la même aire que celle d’un cercle donné ? Le côté du carré étant A et D le diamètre du cercle, cela revient à calculer : A2/D2=π/4. Autrement dit, calculer la valeur exacte de π ! A ce propos, une équipe japonaise découvre en 1997, grâce à des ordinateurs ultra puissants, 50 milliards de décimales après la virgule à π (3,14159265358979323...) ! Le zéro : loin d’être nul !
Le “zéro”, curieusement, n’apparaît qu’au VIème siècle de notre ère, en Inde. En fait, il a bien été inventé trois siècles au préalable, en Amérique, par les Mayas, mais cette invention n’a eu aucune influence sur les mathématiques que nous connaissons, puisque l’Amérique ne sera découverte... qu’en 1492 ! La découverte du zéro découle de deux autres découvertes réalisées par les mathématiciens indiens : l’emploi exclusif de neuf symboles, appelés chiffres, permettant d’écrire tous les nombres, et le principe de “position”, c’est à dire l’ordre des nombres et la valeur qu’un même symbole peut prendre selon sa place : unité, dizaine, centaine... Or, que se passe-t-il lorsque l’on passe de 1 à 2 ? Il y a un “écart” de 1. Idem entre 2 et 3 etc. Mais entre -1 et 1 il y a... deux espaces ! C’est à partir de ce constat qu’a été inventé le signe “qui marque l’absence”, le 0, appelé : “shûnya” (zéro).
Les grands mathématiciens arabes Moins d’un siècle après la mort du Prophète Mahomet (en 632), l’empire arabe s’étend de l’Espagne à l’Inde. C’est ainsi que les Arabes auraient appris la numérotation indienne, et auraient dès lors développé “l’al-gebar” (littéralement : “mettre à sa place”) qui deviendra l’algèbre. Au IXème siècle, le grand mathématicien persan Mohammed Al-Khuwarizmi (dont le nom donnera : algorithme, qui est la succession d’opérations destinées à résoudre un problème) écrit un “best seller” : le Livre du calcul indien. Maintes fois recopié, ce livre répandra la science des équations et du calcul. Parmi ses plus grandes découvertes : la résolution des équations (ax2+bx+c=0) et l’extraction de la racine carrée. Ce sont leurs symboles numériques, que nous utilisons encore aujourd’hui (chiffres arabes).
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En clair
• À quoi servent les mathématiques ? de Norbert Verdier Ed. Les Essentiels Milan 20F
