Les lois du désordre

Durant des siècles, on a cru que la science permettrait, progressivement, de comprendre l’univers physique, et donc de prédire de nombreux événements, comme, par exemple, l’évolution du temps. Mais la découverte, il y a quelques années, de ce que l’on appelle le “chaos déterministe”, est venue remettre en cause cette certitude. Car le chaos, contrairement à ce que l’on pense bien souvent, ce n’est pas le désordre, ce serait plutôt… le paradoxe ! En effet, bien que parfaitement ordonné, nul ne peut dire comment il va évoluer ! Cette découverte a révolutionné nos connaissances en physique, astrophysique, chimie… Et en philosophie ! Explications.

Prédire l’avenir... Qui n’a pas rêvé de détenir ce pouvoir ? La physique, la chimie, ou les mathématiques, semblent, dans leur domaine, offrir cette possibilité. Les expériences permettent en effet des mesures, d’où se dégagent ensuite des théories. Ces dernières servent de référence pour prévoir plus ou moins aisément l’avenir d’un phénomène. Connaissant la hauteur d’où tombe une bille, il est aisé de déterminer avec précision en combien de temps elle parviendra au sol. Mais cette vision d’un monde parfaitement organisé est dorénavant remise en cause avec la théorie du “chaos déterministe”. Attention cependant de ne pas se laisser tromper par le mot “chaos”. S’il évoque une idée de désordre, il signifie pour les scientifiques : “un régime non périodique qui devient imprédictible”.

Le chaos révolutionne la science. Il pose un défi considérable : comment le contrôler ? Quelles sont les lois qui le régissent ?

Pratique :

Faites votre chaos vous même.

Un pendule, est un système très simple, qui a longtemps servi aux horlogers comme référence de temps (horloge à balancier). Prenons ici un aimant, comme balancier, et une boussole. De son côté, la boussole est également un système très simple. Lorsqu’on la pose, l’aiguille oscille un certain temps avant de s’arrêter en direction du nord magnétique. Si l’on met en présence la boussole et le pendule aimanté en mouvement, on constatera alors que l’aiguille se livre à des déplacements totalement irréguliers et imprévisibles. On dit alors que : le système est devenu chaotique.

Histoire d’une découverte

C’est l’un des plus grands mathématiciens français, Henri Poincaré (1854-1912) qui est à l’origine du concept de chaos. Il voulait savoir s’il était possible de calculer la position de la Terre, par rapport au soleil, à une date précise. Or, dès qu’il y a au moins trois corps (planètes) en interaction, le système devient imprédictible ! Poincaré venait de mettre le doigt sur le concept de chaos.

En 1963, le météorologiste américain Edward Lorenz bute sur un autre problème : comment se fait-il que, connaissant les équations de la circulation atmosphérique, et les conditions de départ, on n’arrive pas à prévoir le temps ? Il décide donc de simplifier ses équations, et de les réduire à un phénomène simple : le soleil chauffe l’air qui monte et se refroidit dans les hautes couches de l’atmosphère, puis redescend. Bref, un problème à trois variables : la température de l’air, sa vitesse (le vent) et la variation de la température avec l’altitude. Il programme son ordinateur  pour calculer l’évolution en fonction du temps. Lassé d’attendre le résultat, il va prendre une tasse de café, laissant l’ordinateur travailler seul. A son retour, il veut regarder l’évolution du calcul et relance ce dernier, en introduisant les dernières valeurs imprimées au moment de son départ. Surprise, les valeurs obtenues sont différentes de celles calculées pendant la pause ! Après bien des interrogations, il découvre finalement que si l’imprimante lui donnait trois chiffres après la virgule, l’ordinateur, lui, travaillait avec six chiffres. Cette toute petite différence (l’arrondi du chiffre) donne des résultats nouveaux à chaque calcul ! C’est ainsi qu’il proposa l’image du “battement de l’aile d’un papillon pouvant provoquer un cyclone à l’autre bout de la terre”.

La météorologie est donc un phénomène chaotique, c’est pourquoi l’on ne peut prévoir, au-delà de cinq jours, le temps qu’il fera ! Pour la même raison, on ne peut connaître l’évolution à terme des mouvements des corps célestes, l’évolution d’une population... Bref, le chaos est partout.

Sensibilité aux conditions initiales

L’une des étonnantes propriétés du chaos, c’est donc sa “sensibilité aux conditions initiales”. Derrière cette appellation un peu hermétique, se cache une réalité simple : le plus infime changement dans la condition de départ, a des conséquences considérables.

Pour comprendre cela, il suffit de prendre un exemple mathématique simple. “1, 2, 3, 4, ...” peut également s’écrire : a=1, b=a+1, c=b+1...  Cela s’appelle une “suite”. Prenons maintenant la suite b = 4a - 4a2, c= 4b - 4b2,... avec “a” compris entre 0 et 1 (par exemple 0,12). Cette suite est chaotique. En effet, les nombres obtenus semblent se répartir au hasard entre 0 et 1. Ici, la condition initiale est, bien entendu la valeur donnée à “a”. Les suites obtenues avec a=0,12345678 et a=0,12345679 vont très rapidement devenir très différentes !

Hasard et déterminisme

Lorsque l’on observe un système chaotique, on a l’impression que les événements se produisent au hasard. Rien n’est plus faux ! Prenons l’exemple d’un “vrai” hasard : le tirage du Loto. Les boules numérotées sont introduites dans une sphère où des bras mécaniques les agitent, provoquant des multitudes de chocs, entre elles. Au bout d’un moment, une trappe s’ouvre et une boule tombe, donnant le numéro gagnant. Nouvelle agitation, nouveau numéro... Quel que soit l’ordre dans lequel ont été mises les boules dans la sphère, il est complètement “effacé” par la multitude des chocs. N’importe quelle boule peut donc sortir dans n’importe quel ordre. C’est un hasard “parfait” : car il y a entre deux événements, une “perte complète de la mémoire” de l’état initial.

Le chaos, fonctionne différemment : il s’agit d’un seul événement, instable, et en perpétuelle évolution. La perte de mémoire de la condition initiale ne se fait que très progressivement. Le chaos cache donc un ordre secret, alors que le hasard relève du désordre complet.

L’attracteur étrange

Il est aisé de dessiner une courbe, montrant la position d’un train, en fonction du temps. Une telle courbe permet de déduire avec précision, à quel endroit se trouve le train, à un moment donné. Dans le cadre du chaos, imprédictible par essence, peut-on tracer une courbe qui représenterait les valeurs successives des variables représentées les unes en fonction des autres ?

Cela est possible. Reprenons la suite de nombres décrite ci contre, et associons la à une deuxième suite du même type. Nous aurons dès lors non plus une, mais deux valeurs à chaque opération. On peut les calculer et en situer les valeurs dans un repère de coordonnées X et Y. Après avoir porté un bon nombre de valeurs successives, on découvrira des zones du graphique contenant une majorité de points, comme s’ils étaient attirés par “quelque chose” appelé : “attracteur étrange”. C’est là un moyen de caractériser le chaos et d’obtenir des renseignements sur lui ! Pour imprédictible qu’il soit, l’existence de cet attracteur est la manifestation de l’ordre existant dans le chaos.

Peut on mettre KO le chaos ?

Peut on contrôler le chaos ? La question reste controversée. Mais certains ont émis l’hypothèse suivante : on doit pouvoir appliquer  à un système chaotique une multitude de petites perturbations. Un peu comme lorsque l’on tient un balais en équilibre sur la paume de la main. Dès que le balais bouge dans un sens, on bouge la main dans le même sens. Chaque perturbation (main) ramène alors le système chaotique vers un système prédictible.

Les fractales

C’est le mathématicien français Benoît Mandelbrot qui a baptisé et popularisé les courbes dites “fractales”, dans les années 60.

Qu’est ce qu’un “objet fractal” ? Prenons l’exemple que Mandelbrot utilisa pour faire comprendre ses travaux : une pelote de fil. Vue de loin elle apparaît comme un point sans dimension (D=0). Si l’on s’approche, elle se présente comme une boule sphérique en trois dimensions (D=3). De plus près, le fil apparaît comme une ligne enroulée sur elle même (D=1). Plus près encore, le fil est un cylindre de dimension D=3 etc. Autrement dit, selon la finesse de l’analyse, l’objet “saute” de D=1 à D=3. À la fin de l’analyse, nous observerons les particules élémentaires de la matière (électrons, protons...) qui sont ponctuelles et donc D=0. La pelote peut donc être représentée par une série mathématique F(D) = {0, 3, 1, 3, 1, 3... 3, 1, 3, 0}. Entre D=0 et D=3 la pelote ne disparaît pourtant pas ! C’est donc qu’elle possède une dimension de “transition”, intermédiaire : la dimension fractale.

Les attracteurs étranges sont souvent des fractales…

Un peu de réflexion…

Peu avant son décès, nous avons rencontré le professeur Pierre Bergé, physicien, ancien Directeur de recherche au Commissariat à l’énergie atomique (CEA), professeur à l’université, auteur de nombreux livres et articles sur le chaos. Nous lui dédions ce numéro de Découvrir.

Découvrir : En quoi la découverte du chaos est-elle importante ?

Pierre Bergé : C’est une très grande découverte, car le chaos est partout, depuis toujours. Le fait d’avoir compris cela permet d’éviter de nombreux problèmes ! Ainsi, par exemple, il y a quelques temps, Électricité de France (EDF) voulut connecter deux centrales électriques entre elles. Mais il y avait des sautes de tension imprévisibles. Le phénomène était chaotique. Cela a permis de repérer les oscillateurs cause du chaos, et donc de trouver une solution pour que le système ne soit plus chaotique. Des exemples de ce type sont nombreux...

Qu’est - ce que le chaos a modifié dans la pensée scientifique ?

Jusqu’à cette découverte, on pensait qu’il existait des phénomènes tellement désordonnés et complexes, que l’on ne pourrait jamais les comprendre. Maintenant, la question se pose autrement : le phénomène complexe observé n’est-il pas dû à un phénomène plus simple, deux oscillateurs par exemple, que l’on peut observer séparément. C’est une véritable révolution.

Où en sont les recherches sur le chaos ?

Le chaos est aujourd’hui assez bien cerné. Mais il reste de vastes champs d’exploration. Si nous savons analyser un système à deux oscillateurs, il reste à comprendre des systèmes composés par des milliers d’oscillateurs. Cette question se pose en météorologie, en astronomie...

Le Chaos et la philosophie ?

Durant des siècles, on a pensé que “le tout était la somme des parties”; qu’il suffisait d’analyser de plus en plus finement les parties, pour comprendre l’ensemble. Qu’en connaissant les parties, il serait possible de décrire le système entier, et d’en déterminer le devenir. Tout cela est remis en cause, puisque nous savons maintenant que les interactions entre les parties créent un tout bien différent de la somme des parties, et que ce tout peut être chaotique. Autre bouleversement : l’idée que l’ordre puisse naître du chaos, c’est-à-dire de l’absence d’ordre. Le chaos déterministe balaye deux tendances communément répandues en science (et en philosophie) : le “réductionisme” (recherche de l’équation simple, qui résume tout) et le “globalisme” (inventaire exhaustif).

À lire

Il y a encore très peu de livres accessibles au grand public sur le chaos. Bien que parfois difficiles (car faisant appel à de nombreuses notions de mathématique) signalons tout de même :

• “Des rythmes du chaos” de P. Bergé, Y. Pomeau, M. Dubois-Gance. Éditions Odile Jacob, 294 p., 140F

• “La complexité, une théorie de la vie au bord du chaos” de Roger Lewin. Interéditions224p.104F.

• “Chaos et déterminisme” sous la direction de A. Dahan Dalmedico, J.-L. Chabert, et K. Chemla. Col. Point Seuil, 416 p.

• “Dieu joue-t-il aux Dés” de Ian Stewart, Col. Champs, Flammarion, 442p.

• Revue du Palais de la découverte, Vol 23, n°223 de décembre 1994.

Clin d'oeil

Prochain dossier : les manips de l’été