Des groupes de Galois au théorème de Fermat

Le 25 octobre, les scientifiques vont célébrer le bicentenaire de la naissance d’Évariste Galois. Ce mathématicien français a posé, juste avant de mourir en duel, à 21 ans, les bases d’une théorie qui a révolutionné sa discipline. 

Et pourtant ! Entre 1829 et 1831, alors étudiant à l’École normale, il envoie trois mémoires exposant ses travaux à l’Académie des sciences. Les deux premiers ont été perdus et le troisième est resté incompris. Découragé par son échec à faire reconnaître l’importance de ses résultats, il poursuit ses idéaux républicains. Le 14 juillet 1831, il est condamné à onze mois de prison pour s’être baladé dans les rues de Paris en habit d’artilleur et muni d’une carabine chargée. Le 30 mai 1832, à peine libéré, Évariste Galois sait qu’il a peu de chance de sortir vivant du duel qu’il va honorer le lendemain, pour des raisons aujourd’hui encore obscures. Dans une ultime lettre à un ami, il décrit les résultats de ses recherches. 

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avril 2011

Le mathématicien s’intéresse aux équations polynomiales à une inconnue (x, qui apparaît à différentes puissances : x, x2, x3, ...).

Lorsque ces équations ne font intervenir que des puissances inférieures à 4, il existe des formules générales utilisant des racines (carrées, cubiques...) pour en exprimer les solutions. Au-delà, un Norvégien, Abel, a montré que ce n’est plus possible dans le cas général. Dans sa lettre et ses écrits, Galois décrit un objet, désormais baptisé groupe de Galois, grâce auquel il parvient à décider si les solutions de l’équation peuvent, ou non, être écrites simplement avec des racines. Aujourd’hui, les groupes de Galois font encore l’objet de nombreuses recherches. Ils ont notamment permis d’établir une correspondance entre deux objets mathématiques très différents (les courbes elliptiques et les formes modulaires). Et c’est grâce à cette correspondance qu’Andrew Wiles, un Britannique, a donné en 1994 la preuve du théorème de Fermat, l’un des plus grands problèmes mathématiques depuis le XVIe siècle.

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Céline Duguey

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